Famille de droites - Exercice 3

Si les trois droites sont concourantes, cela signifie que les droites ont toutes le même point d'intersection.
Pour commencer, nous allons déterminer le point d'intersection des droites $$d_{1}$$ et $$d_{2}$$. Il nous faut donc résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {-x} & {+} & {4y} & {-} & {9} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Pour résoudre ce système, nous allons procéder par la méthode par combinaison. Nous allons multiplier par $$2$$ la deuxième ligne du système. On obtient :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {-2x} & {+} & {8y} & {-} & {18} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Maintenant, nous allons additionner la première ligne avec la deuxième ligne, tout en conservant la première ligne. Cela donne :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2x+3y-4} & {=} & {0} \\ {2x+3y-4+\left(-2x+8y-18\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {} & {} & {11y} & {-} & {22} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {} & {} & {11y} & {} & {} & {=} & {22} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {} & {} & {y} & {} & {} & {=} & {\frac{22}{11}} \end{array}\right.$$
On va ainsi obtenir la valeur de $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Nous allons maintenant remplacer la valeur de $$y$$ dans la première ligne.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3\times2} & {-} & {4} & {=} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
En conséquence, les cordonnées du point d'intersection des droites $$d_{1}$$ et $$d_{2}$$ et le point $$I$$ de coordonnées $$\left(-1;2\right)$$.
Maintenant, si nous voulons que les droites $$d_{1}$$, $$d_{2}$$ et $$\Delta$$ soient concourantes, il est impératif que le point $$I\left(-1;2\right)$$ appartiennent également à $$\Delta$$. Il vient alors que :
$$\left(3m+1\right)x_{I}-(2m+3)y_{I}-1= 0$$
$$\left(3m+1\right)\times\left(-1\right)-(2m+3)\times2-1= 0$$
$$-3m-1-(4m+6)-1= 0$$
$$-3m-1-4m-6-1= 0$$
$$-7m-8= 0$$
$$-7m=8$$
$$m=\frac{8}{-7}$$
Ainsi :
Lorsque $$m=-\frac{8}{7}$$ alors les droites $$d_{1}$$, $$d_{2}$$ et $$\Delta$$ sont concourantes.