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Famille de droites - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit mm un réel. On considère les deux familles de droites dm:mx+(3m+1)y=5d_{m}: mx+\left(3m+1\right)y=5 et Dm:x−2my=1D_{m}: x-2my=1.

Déterminer la (ou les valeurs) de mm telle(s) que dmd_{m} et DmD_{m} soient parallèles.

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1⃗(xy)\vec{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2⃗(x′y′)\vec{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0xy'-x'y=0
Soit u1⃗(−3m−1m)\vec{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-3m-1} \\ {m} \end{array}\right) un vecteur de la droite (dm)\left(d_{m} \right).
Soit u2⃗(2m1)\vec{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {2m} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (Dm)\left(D_{m} \right).
Les vecteurs u1⃗\vec{u_{1} } et u2⃗\vec{u_{2} } doivent être colinéaires afin que les dmd_{m} et DmD_{m} soient parallèles.
Il vient alors que :
(−3m−1)×1−m×2m=0\left(-3m-1\right)\times1-m\times2m=0
−3m−1−2m2=0-3m-1-2m^{2}=0
Il nous faut donc résoudre l'équation du second degré : −2m2−3m−1=0-2m^{2}-3m-1=0.
Δ=1\Delta =1 ; m1=−1m_{1} =-1 et m2=−12m_{2} =-\frac{1}{2}.
Les droites dmd_{m} et DmD_{m} sont parallèles pour les valeurs m=−1m=-1 et m=−12m=-\frac{1}{2}.