Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Nous cherchons le(s) couple(s) $$\left(x,y\right)$$ tel(s) que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {x^{2}-5x-4} \\ {-x+y+9} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {x^{2}-5x-4} \\ {y} & {=} & {x-9} \end{array}\right.$$
De ce fait, il nous faut résoudre l'équation :
$$x^{2}-5x-4=x-9$$
$$x^{2}-5x-4-x+9=0$$
$$x^{2}-6x+5=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 5$$
$$\Delta =36-20=16$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =5$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -6x+5=0$$ sont donc :
Il s'agit donc des abscisses des points d'intersection entre la parabole $$P$$ et la droite $$\left(d\right)$$.
Pour obtenir les ordonnées, on remplace dans l'équation $$y=x-9$$.
On en déduit que les deux points d'intersection sont : $$A\left(1;-8\right)$$ et $$B\left(5;-4\right)$$