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Exercices types : 22ème partie - Exercice 4

5 min
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Question 1

Soit xx un réel. Déterminer les valeurs de xx telles que les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) de vecteurs directeurs respectifs u1→(x2)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2} \end{array}\right) et u2→(32x)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {32} \\ {x} \end{array}\right) soient parallèles .

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0xy'-x'y=0
Nous connaissons les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) qui sont respectivement u1→(x2)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2} \end{array}\right) et u2→(32x)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {32} \\ {x} \end{array}\right) .
Il faut donc que :
x×x−2×32=0x\times x-2\times 32=0 . Nous obtenons une équation que nous allons résoudre.
x2−64=0x^{2} -64=0
x2=64x^{2} =64

Soit aa un réel positif ou nul
  • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=−ax=-\sqrt{a}
D'après le rappel, il vient que :
x2=64x^{2}=64 équivaut successivement à :
x=64x=\sqrt{64} ou x=−64x=-\sqrt{64}
x=8x=8 ou x=−8x=-8
Les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) de vecteurs directeurs respectifs u1→(x2)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {2} \end{array}\right) et u2→(32x)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {32} \\ {x} \end{array}\right) sont parallèles pour les réels x=8x=8 ou x=−8x=-8 .