Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{C} } \\ {y_{D} -y_{C} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)$$
De plus, $$4\times \left(-4\right)-\left(-2\right)\times 8=0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont donc bien colinéaires.

Le quadrilatère $$ABDC$$ a donc ses deux cotés $$\left[AB\right]$$ et $$\left[CD\right]$$ qui sont parallèles, c'est donc un trapèze.

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{BD}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(BD\right)$$.
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{B} } \\ {y_{D} -y_{B} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(BD\right)$$, on en déduit que : $$b=-1$$ et $$a=-6$$.
Ainsi , on a : $$-6x-y+c=0$$.
Or le point $$B\left(2;2\right)$$ appartient à la droite $$\left(BD\right)$$, donc les coordonnées du point $$B\left(2;2\right)$$ vérifie $$-6x-y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-6x_{B} -y_{B} +c=0$$
$$-6\times 2-2+c=0$$
$$-12-2+c=0$$
$$-14+c=0$$
$$c=14$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(BD\right)$$ est : $$-6x-y+14=0$$.

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AC}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AC\right)$$.
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(AC\right)$$, on en déduit que : $$b=3$$ et $$a=-4$$.
Ainsi, on a : $$-4x+3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-2;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(AC\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-2;4\right)$$ vérifie $$-4x+3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-4x_{A} +3y_{A} +c=0$$
$$-4\times \left(-2\right)+3\times 4+c=0$$
$$8+12+c=0$$
$$20+c=0$$
$$c=-20$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AC\right)$$ est : $$-4x+3y-20=0$$.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$
On regarde si les coordonnées du point $$E$$ vérifient l'équation de la droite $$\left(BD\right)$$.
$$-6x_{E} -y_{E} +14=-6\times 1-8+14$$
$$-6x_{E} -y_{E} +14=0$$
Donc le point $$E$$ appartient à la droite $$\left(BD\right)$$.
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
On regarde si les coordonnées du point $$E$$ vérifient l'équation de la droite $$\left(AC\right)$$.
$$-4x_{E} +3y_{E} -20=-4\times 1+3\times 8-20$$
$$-4x_{E} +3y_{E} -20=0$$
Donc le point $$E$$ appartient à la droite $$\left(AC\right)$$.

$$K$$ est le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ d'où :
$$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$$ et $$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$$ .
Ainsi : $$x_{K} =0$$ et $$y_{K} =3$$.
Donc $$K\left(0;3\right)$$

$$L$$ est le milieu du segment $$\left[CD\right]$$ d'où :
$$x_{L} =\frac{x_{C} +x_{D} }{2}$$ et $$y_{L} =\frac{y_{C} +y_{D} }{2}$$ .
Ainsi : $$x_{L} =-1$$ et $$y_{L} =-2$$.
Donc $$L\left(-1;-2\right)$$

Calculons les coordonnées des vecteurs $$\overrightarrow{EL}$$ et $$\overrightarrow{EK}$$.
On a :
$$\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {x_{L} -x_{E} } \\ {y_{L} -y_{E} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-10} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {x_{K} -x_{E} } \\ {y_{K} -y_{E} } \end{array}\right)$$ soit $$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)$$
On remarque que : $$\overrightarrow{EL} =2\times \overrightarrow{EK}$$.
Il vient alors que les vecteurs $$\overrightarrow{EL}$$ et $$\overrightarrow{EK}$$ sont colinéaires, donc que les points $$E$$, $$K$$ et $$L$$ sont alignés.