Comment étudier la parité d'une fonction - Fonctions trigonométriques - Spécialité

Question 1

Etudiez la parité des fonctions suivantes :

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=2\cos \left(-x\right)-\left(-x\right)^{2}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction paire.

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 2

$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(-x\right)}{\sin \left(-x\right)}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{-\sin \left(x\right)}

f\left(-x\right)=-\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Question 3

$f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)

peut également s'écrire

f\left(x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

.
Ainsi :

f\left(-x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(-x\right)}{\cos ^{2} \left(-x\right)}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(-x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(-x\right)\right)^{2} }

f\left(-x\right)=\frac{\left(-\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }

f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }

Enfin :

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction paire.

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 4

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-3\sin \left(x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=2\cos \left(-x\right)-3\sin \left(-x\right)

f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)-3\times \left(-\sin \left(x\right)\right)

f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)

f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)

Ici

f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)

et

f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)

La fonction

f

n'est ni paire ni impaire.

Question 5

$f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=\sin \left(-x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)

équivaut successivement à :

f\left(-x\right)=\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)+\cos \left(-x\right)

f\left(-x\right)=-\sin \left(x+\pi \right)+\cos \left(x\right)

car

\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)=-\sin \left(x+\pi \right)

Ici

f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)

et

f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)

La fonction

f

n'est ni paire ni impaire.

Question 6

$f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=2\sin \left(-x\right)-3\sin \left(\frac{-x}{2} \right)

f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)-3\times \left(-\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)

f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)+3\sin \left(\frac{x}{2} \right)

f\left(-x\right)=-\left(2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Question 7

$f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=-\cos \left(3\times \left(-x\right)\right)\sin \left(2\times \left(-x\right)\right)

f\left(-x\right)=-\cos \left(-3x\right)\sin \left(-2x\right)

f\left(-x\right)=-\cos \left(3x\right)\times \left(-\sin \left(2x\right)\right)

f\left(-x\right)=\cos \left(3x\right)\times \sin \left(2x\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Question 8

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+3x$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel

x

, on a :

\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

Calculons

f\left(-x\right)

. Ainsi :

f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right)+3\times \left(-x\right)

f\left(-x\right)=-\sin \left(x\right)-3x

f\left(-x\right)=-\left(\sin \left(x\right)+3x\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Comment étudier la parité d'une fonction - Exercice 1

f(x)=2cos⁡(x)−x2f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2} f(x)=2cos(x)−x2

f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} f(x)=sin(x)cos(x)​

f(x)=tan⁡2(x)f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)f(x)=tan2(x)

f(x)=2cos⁡(x)−3sin⁡(x)f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-3\sin \left(x\right)f(x)=2cos(x)−3sin(x)

f(x)=sin⁡(x−π)+cos⁡(−x)f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)f(x)=sin(x−π)+cos(−x)

f(x)=2sin⁡(x)−3sin⁡(x2)f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)f(x)=2sin(x)−3sin(2x​)

f(x)=−cos⁡(3x)sin⁡(2x)f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)f(x)=−cos(3x)sin(2x)

f(x)=sin⁡(x)+3xf\left(x\right)=\sin \left(x\right)+3xf(x)=sin(x)+3x

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}$

$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$

$f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)$

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-3\sin \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)$

$f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)$

$f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)$

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+3x$