Se connecter
S'inscrire
Fiches gratuites
Formules
Blog
Nouveau
🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !
Accéder aux fiches
→
Se connecter
Retour au chapitre
Fonction exponentielle
Variations avec des fonctions de la forme
x
↦
e
a
x
+
b
x\mapsto e^{ax+b}
x
↦
e
a
x
+
b
- Exercice 1
10 min
15
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction définie sur
R
\mathbb{R}
R
par :
f
(
x
)
=
e
3
x
f\left(x\right)=e^{3x}
f
(
x
)
=
e
3
x
Déterminer la fonction dérivée
f
′
f'
f
′
de
f
f
f
.
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
e
3
x
f\left(x\right)=e^{{\color{blue}3}x}
f
(
x
)
=
e
3
x
Ici nous avons
a
=
3
{\color{blue}a=3}
a
=
3
et
b
=
0
{\color{red}b=0}
b
=
0
.
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
3
×
e
3
x
f'\left(x\right)={\color{blue}3}\times e^{{\color{blue}3}x}
f
′
(
x
)
=
3
×
e
3
x
D'où
f
′
(
x
)
=
3
e
3
x
f'\left(x\right)=3e^{3x}
f
′
(
x
)
=
3
e
3
x
Question 2
Etudier le signe de
f
′
(
x
)
f'\left(x\right)
f
′
(
x
)
.
Correction
Nous savons que
f
′
(
x
)
=
3
e
3
x
f'\left(x\right)=3e^{3x}
f
′
(
x
)
=
3
e
3
x
Pour tout réel
x
∈
R
x\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on sait que
e
3
x
>
0
e^{3x}>0
e
3
x
>
0
. De plus
3
>
0
3>0
3
>
0
. Il en résulte donc que pour tout réel
x
x
x
, on a :
f
′
(
x
)
>
0
f'\left(x\right)>0
f
′
(
x
)
>
0
.
Question 3
En déduire les variations de
f
f
f
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Correction
Si
f
′
f'
f
′
est négative sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
f
f
f
est décroissante sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
Si
f
′
f'
f
′
est positive sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
f
f
f
est croissante sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
Nous allons dresser le tableau de variation de
f
f
f
.