ABC est un triangle rectangle en A de sens direct tel que (BA;BC)=−6π et ACD est un triangle équilatéral de sens direct. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
Question 1
(CA;CB)
Correction
D'une part, les angles du triangle ACD, ils sont tous égaux à 3π car ACD est un triangle équilatéral. D'autre part, nous allons calculer tous les angles du triangle ABC. Nous ne tiendrons pas compte du sens direct pour les calculer. La mesure de l'angle CAB est 2π et celle de l'angle ABC est 6π or on sait que la somme des trois angles d'un triangle vaut π. Ainsi : ACB=π−2π−6π soit ACB=3π. L'angle (CA;CB) est dans le sens direct donc :
(CA;CB)=3π
Question 2
(AD;AB)
Correction
L'angle (AD;AB) est dans le sens indirect. (AD;AB)=(AD;AC)+(AC;AB) d'après la relation de Chasles. (AD;AB)=−3π−2π Ainsi :
(AD;AB)=−65π
Question 3
(CD;AD)
Correction
(CD;AD)=(−DC;−DA)
Soient les vecteurs u et v on a alors : (−u;−v)=(u;v)
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine D. (CD;AD)=(DC;DA). L'angle (DC;DA) est dans le sens indirect. Ainsi :
(CD;AD)=−3π
Question 4
(AB;CD)
Correction
(AB;CD)=(AB;AC)+(AC;CD) d'après la relation de Chasles. Ensuite, n'oubliez pas que les vecteurs qui composent un angle orienté doivent avoir la même origine. D'où : (AB;CD)=(AB;AC)+(−CA;CD)
Soient les vecteurs u et v on a alors : (−u;v)=(u;v)+π
(AB;CD)=(AB;AC)+(CA;CD)+π (AB;CD)=2π−3π+π (AB;CD)=67π. On va donner la mesure principale de (AB;CD). Ainsi : (AB;CD)=67π−2π soit :
(AB;CD)=−65π
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