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Propriétés des angles orientés - Exercice 1

10 min
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On donne la mesure de l'angle orienté suivant (u→;v→)=−2π5[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right] et (u→;v→)=π6[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi\right].
Calculez :
Question 1

(u→;−v→)\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(u→;−v→)=(u→;v→)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
Ainsi :
(u→;−v→)=(u→;v→)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(u→;−v→)=−2π5+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(u→;−v→)=−2π5+5π5\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
D'où :
(u→;−v→)=3π5[2π]\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 2

(−u→;−v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Ainsi :
(−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(−u→;−v→)=−2π5[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 3

(−u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(−u→;v→)=−2π5+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(−u→;v→)=−2π5+5π5\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
Ainsi :
(−u→;v→)=3π5[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 4

(v→;u→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(v→;u→)=−(u→;v→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v→;u→)=−(u→;v→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v→;u→)=−(−2π5)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(-\frac{2\pi }{5} \right)
(v→;u→)=2π5[2π]\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 5

(2u→;3v→)\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(2u→;3v→)=(u→;v→).\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs.
Donc :
(2u→;3v→)=−2π5[2π]\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 6

(−4u→;5v→)\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(−4u→;5v→)=(−u→;v→).\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right).
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs mais on garde les signes.
Ainsi :
(−4u→;5v→)=(−u→;v→)\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(−4u→;5v→)=(u→;v→)+π\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(−4u→;5v→)=−2π5+π\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(−4u→;5v→)=−2π5+5π5\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
Ainsi :
(−4u→;5v→)=3π5[2π]\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 7

(2u→;w→)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(2u→;w→)=(u→;w→)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)
Soient trois vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} , on a alors :
(u→;w→)=(u→;v→)+(v→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right) . Il s'agit de la relation de Chasles.
(2u→;w→)=(u→;v→)+(v→;w→)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)
(2u→;w→)=−2π5+π6\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{2\pi }{5}+\frac{\pi }{6}
(2u→;w→)=−2π×65×6−5×π6×5\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{2\pi\times6 }{5\times6}-\frac{5\times\pi }{6\times5}
(2u→;w→)=−12π30−5π30\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{12\pi }{30}-\frac{5\pi }{30}
(2u→;w→)=−17π30[2π]\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{17\pi }{30} \left[2\pi\right]