Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

Les points $$F,G$$ et $$T$$ sont alignées car sur une même droite.
De plus, les vecteurs $$\overrightarrow{GT}$$ et $$\overrightarrow{GF}$$ sont colinéaires et de sens opposés donc $$\left(\overrightarrow{GT} ;\overrightarrow{GF} \right)=-\pi$$.
Or $$\left(\overrightarrow{GT} ;\overrightarrow{GH} \right)=-\frac{2\pi }{3}$$, donc d'après la relation de Chasles on a :
$$\left(\overrightarrow{GT} ;\overrightarrow{GF} \right)=\left(\overrightarrow{GT} ;\overrightarrow{GH} \right)+\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{GF} \right)$$
$$-\pi =-\frac{2\pi }{3} +\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{GF} \right)$$
$$-\pi +\frac{2\pi }{3} =\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{GF} \right)$$
Ainsi : $$\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{GF} \right)=\frac{\pi }{3}$$

A l'aide de la représentation de la ligne brisée, on lit facilement que :

• $$\left(\overrightarrow{FE} ;\overrightarrow{FG} \right)=\frac{3\pi }{4}$$

• $$\left(\overrightarrow{HG} ;\overrightarrow{HI} \right)=\frac{11\pi }{12}$$

A l'aide de la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{FG} \right)+\left(\overrightarrow{FG} ;\overrightarrow{GH} \right)+\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{IH} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\left(-\overrightarrow{FE} ;\overrightarrow{FG} \right)+\left(-\overrightarrow{GF} ;\overrightarrow{GH} \right)+\left(-\overrightarrow{HG} ;-\overrightarrow{HI} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\left(\overrightarrow{FE} ;\overrightarrow{FG} \right)+\pi +\left(\overrightarrow{GF} ;\overrightarrow{GH} \right)+\pi +\left(\overrightarrow{HG} ;\overrightarrow{HI} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\frac{3\pi }{4} +\pi +\left(\overrightarrow{GF} ;\overrightarrow{GH} \right)+\pi +\frac{11\pi }{12} .$$
Or d'après la question $$1$$, on sait que : $$\left(\overrightarrow{GH} ;\overrightarrow{GF} \right)=-\frac{\pi }{3}$$, il vient alors que $$\left(\vec{GF} ;\vec{GH} \right)=\frac{\pi }{3}$$ car $$\left(\vec{v} ;\vec{u} \right)=-\left(\vec{u} ;\vec{v} \right)$$.

On obtient dans ce cas :
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\frac{3\pi }{4} +\pi +\frac{\pi }{3} +\pi +\frac{11\pi }{12}$$
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=\frac{3\pi }{4} +\pi +\frac{\pi }{3} +\pi +\frac{11\pi }{12}$$
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=4\pi$$
On peut également écrire que :
$$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=0+2\times 2\pi$$.
Ce qui nous permet de dire que la mesure principale est alors : $$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=0$$

Comme $$\left(\overrightarrow{EF} ;\overrightarrow{IH} \right)=0$$ les vecteurs $$\overrightarrow{EF}$$ et $$\overrightarrow{IH}$$ sont donc colinéaires.
Les droites $$\left(EF\right)$$ et $$\left(HI\right)$$ sont donc parallèles.