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Suites géométriques

Sens de variation d'une suite géométrique à termes strictement positifs - Exercice 3

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La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=3×2nu_{n}=3\times2^n. La suite (un)\left(u_{n}\right) est à termes strictement positifs.
Question 1

Déterminer u0u_0 .

Correction
Soit nn un entier naturel.
Comme un=3×2nu_{n}=3\times2^n alors u0=3×20=3×1u_{0}=3\times2^0=3\times1 donc
u0=3u_{0}=3
.
Question 2

Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique.

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=3×2nu_{n} =3\times 2^{n} alors :
un+1=3×2n+1u_{n+1} =3\times 2^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=3×2n+13×2n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3\times 2^{n+1} }{3\times 2^{n} } équivaut successivement à :
un+1un=3×2n+13×2n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\cancel{3}\times2^{n+1} }{\cancel{3}\times2^{n} }
un+1un=2n+12n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{2^{n} }
Soit xx un réel non nul.
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
un+1un=2n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2^{n+1-n}
un+1un=2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2
Il en résulte que la suite un=3×2nu_{n} =3\times 2^{n} est une suite géométrique de raison 22.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 3

Déterminer, enfin, le sens de variation de la suite (un)\left(u_n\right) .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
Nous savons que : q=2>1q=2>1 et u0=3>0u_{0}=3>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.