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Suites géométriques

Sens de variation d'une suite géométrique à termes strictement positifs - Exercice 1

6 min
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Déterminer le sens de variation pour chacune des suites géométriques ci-dessous :
Question 1

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 22 et de premier terme u0=4u_{0}=4 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
Nous savons que : q=2>1q=2>1 et u0=4>0u_{0}=4>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
Question 2

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 13\frac{1}{3} et de premier terme u0=12u_{0}=\frac{1}{2} .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
Nous savons que : q=13q=\frac{1}{3} ainsi 0<q<10<q<1 et u0=12>0u_{0}=\frac{1}{2}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
Question 3

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 33 et de premier terme u0=0,2u_{0}=0,2 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
Nous savons que : q=3>1q=3>1 et u0=0,2>0u_{0}=0,2>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
Question 4

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison (43−13)\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\right) et de premier terme u0=5u_{0}=5 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
Nous savons que :
q=43−13=33=1q=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1 et u0=5>0u_{0}=5>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0=5u_{0}=5.
Question 5

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par u0=23u_{0}=\frac{2}{3} et un+1=8unu_{n+1}=8u_{n} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après les hypothèses, nous savons que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=8unu_{n+1}=8u_{n} .
    La raison q=8>1q=8>1 et u0=23>0u_{0}=\frac{2}{3}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    Question 6

    La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par u1=2u_{1}=2 et un+1=56unu_{n+1}=\frac{5}{6}u_{n} .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après les hypothèses, nous savons que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=8unu_{n+1}=8u_{n} .
    La raison q=56q=\frac{5}{6} ainsi 0<q<10<q<1 et u1=2>0u_{1}=2>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.