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Suites géométriques

Mise en situation sous formes de petits problèmes - Exercice 1

15 min
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Selon un rapport de l’Ordre National des Médecins de 20182018, le nombre de médecins généralistes, femmes et hommes, devrait baisser de 0,9%0,9\% chaque année, et ce jusqu’en 20252025.
Le nombre total de médecins généralistes en France en 20182018 était d’environ 102,5102,5 milliers.
On note u0u_0 le nombre de médecins généralistes pour l’année 20182018 et unu_n l’estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l’année (2018+n)\left(2018 + n\right) où nn est un entier positif.
Question 1

Donner la valeur de u0u_0 .

Correction
Le nombre total de médecins généralistes en France en 20182018 était d’environ 102,5102,5 milliers.
Il en résulte donc que
u0=102,5u_0=102,5
Question 2

Déterminer le nombre de médecins généralistes en France en 20192019 . Donner un arrondi à 10−110^{-1} près.

Correction
Dire que le nombre de médecins généralistes, femmes et hommes, devrait baisser de 0,9%0,9\% chaque année revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de médecins par 1−0,9100=0,9911-\frac{0,9}{100}=0,991 chaque année.
unu_n est l’estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l’année (2018+n)\left(2018 + n\right) où nn est un entier positif.
Il en résulte donc que u1u_1 est l’estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l’année (2018+1)\left(2018 + 1\right) .
Ainsi :
u1=0,991×u0u_1=0,991\times u_0
u1=0,991×102,5u_1=0,991\times 102,5
u1≈101,6u_1\approx101,6
au dixième près.
Question 3

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} . Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est une suite géométrique dont on précisera la raison .

Correction
Dire que le nombre de médecins généralistes, femmes et hommes, devrait baisser de 0,9%0,9\% chaque année revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de médecins par 1−0,9100=0,9911-\frac{0,9}{100}=0,991 chaque année.
La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u0=102,5u_{0}=102,5 et sa raison est q=0,991q = 0,991.
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    un+1=un×0,991u_{n+1} =u_{n}\times0,991
    Finalement :
    un+1=0,991unu_{n+1} =0,991u_{n}

    Question 4

    Déterminer l'expression du terme général unu_n ou encore exprimer unu_n en fonction de nn .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=102,5u_{0} =102,5 et la raison vaut q=0,991q=0,991
    Il en résulte donc que :
    un=102,5×0,991nu_{n} =102,5\times0,991^{n}

    Question 5

    Déterminer une estimation du nombre de médecins généralistes en France en 20252025 selon ce modèle. Donner un arrondi à 10−110^{-1} près.

    Correction
    unu_n est l’estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l’année (2018+n)\left(2018 + n\right) où nn est un entier positif.
    Il en résulte donc que u7u_7 est l’estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l’année (2018+7)\left(2018 + 7\right) .
    Ainsi :
    u7=102,5×0,9917u_{7} =102,5\times0,991^{7}
    u7≈96,2u_{7} \approx96,2 au dixième près.