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Suites géométriques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

15 min
30
Une émission de télé-réalité est diffusée une fois par semaine.
On désire, dans cet exercice, étudier les audiences de cette émission sur un groupe de 11 000000 adolescents.
La première semaine, 400400 adolescents de ce groupe ont regardé l’émission.
On estime que les audiences augmentent chaque semaine de 5%5\%.
On note unu_n le nombre d’adolescents du groupe ayant regardé l’émission la nn-ième semaine. On a ainsi u1=400u_1 = 400.
Question 1

Calculer u2u_2.

Correction
Dire que les audiences augmentent chaque semaine de 5%5\% revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} l'audience 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05 chaque semaine .
unu_n le nombre d’adolescents du groupe ayant regardé l’émission la nn-ième semaine, où nn est un entier positif non nul.
Il en résulte donc que u2u_2 est l’estimation de l'audience la deuxième semaine.
Ainsi :
u2=1,05×u1u_2=1,05\times u_1
u2=1,05×400u_2=1,05\times 400
Ainsi :
u2=420u_2=420

Question 2

Quelle est la nature de la suite (un)\left(u_n\right)? Justifier .

Correction
Dire que les audiences augmentent chaque semaine de 5%5\% revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} l'audience 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05 chaque semaine .
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,05 .
La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u1=400u_{1}=400 et sa raison est q=1,05q = 1,05.
Question 3

Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
Donner le terme général de la suite (un)\left(u_{n} \right) .
Ces deux phrases signifient la même chose .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=400u_{1} =400 et q=1,05q=1,05.
    Il en résulte donc que :
    un=400×(1,05)n−1u_{n} =400\times\left(1,05\right)^{n-1}

    Question 4

    La finale de cette émission se déroule la douzième semaine. Combien d’adolescents du groupe ont regardé la finale ? Arrondir le résultat à l’unité.

    Correction
    unu_n est le nombre d’adolescents du groupe ayant regardé l’émission la nn-ième semaine. Pour la douzième semaine, il nous faut calculer u12u_{12}.
    Nous allons utiliser l'expression de unu_{n} en fonction de nn vue à la question précédente :
    un=400×(1,05)n−1u_{n} =400\times\left(1,05\right)^{n-1}

    Il en résulte donc que :
    u12=400×(1,05)12−1u_{12} =400\times\left(1,05\right)^{12-1}
    u12=400×(1,05)11u_{12} =400\times\left(1,05\right)^{11}
    Ainsi :
    u12=684u_{12} =684
    arrondi à l’unité car 400×(1,05)11≈684,1400\times\left(1,05\right)^{11}\approx 684,1 .
    La finale a été vue par 684684 adolescents.