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Suites géométriques

Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 3

4 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=0,4q=0,4 et de premier terme u1=20u_{1} =20.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    un+1=un×0,4u_{n+1} =u_{n}\times0,4
    Finalement :
    un+1=0,4unu_{n+1} =0,4u_{n}

    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite (un)\left(u_{n} \right) .
    Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=20u_{1} =20.
    Il en résulte donc que :
    un=20×0,4n−1u_{n} =20\times 0,4^{n-1}

    Question 3

    Calculer u4u_{4}.

    Correction
    Pour déterminer la valeur de u6u_{6}, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
    un=20×0,4n−1u_{n} =20\times 0,4^{n-1}

    Il vient alors que :
    u4=20×0,44−1u_{4} =20\times 0,4^{4-1}
    Ainsi :
    u4=1,28u_{4} =1,28