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Suites géométriques
Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 2
5 min
10
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
=
1
3
q=\frac{1}{3}
q
=
3
1
et de premier terme
u
0
=
729
u_{0} =729
u
0
=
729
.
Question 1
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
×
q
u_{n+1} =u_{n}\times q
u
n
+
1
=
u
n
×
q
où
q
q
q
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
géométrique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
×
1
3
u_{n+1} =u_{n}\times\frac{1}{3}
u
n
+
1
=
u
n
×
3
1
Finalement :
u
n
+
1
=
1
3
u
n
u_{n+1} =\frac{1}{3}u_{n}
u
n
+
1
=
3
1
u
n
Question 2
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Nous savons que
u
n
+
1
=
1
3
u
n
u_{n+1} =\frac{1}{3}u_{n}
u
n
+
1
=
3
1
u
n
et que
u
0
=
729
u_{0} =729
u
0
=
729
.
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par
1
3
{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
3
1
.
Calcul de
u
1
u_{1}
u
1
.
u
0
+
1
=
1
3
×
u
0
u_{\red{0}+1} =\frac{1}{3}\times u_{\red{0}}
u
0
+
1
=
3
1
×
u
0
u
1
=
1
3
×
u
0
u_{1} =\frac{1}{3}\times u_{0}
u
1
=
3
1
×
u
0
u
1
=
1
3
×
729
u_{1} =\frac{1}{3}\times 729
u
1
=
3
1
×
729
d'où :
u
1
=
243
u_{1} =243
u
1
=
243
Calcul de
u
2
u_{2}
u
2
.
u
1
+
1
=
1
3
×
u
1
u_{\red{1}+1} =\frac{1}{3}\times u_{\red{1}}
u
1
+
1
=
3
1
×
u
1
u
2
=
1
3
×
u
1
u_{2} =\frac{1}{3}\times u_{1}
u
2
=
3
1
×
u
1
u
2
=
1
3
×
243
u_{2} =\frac{1}{3}\times 243
u
2
=
3
1
×
243
d'où :
u
2
=
81
u_{2} =81
u
2
=
81
Question 3
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
ou encore le terme général de la suite
u
n
u_{n}
u
n
est :
u
n
=
u
0
×
q
n
u_{n} =u_{0}\times q^{n}
u
n
=
u
0
×
q
n
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
u_{n} =u_{1}\times q^{n-1}
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_{n} =u_{p}\times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
729
u_{0} =729
u
0
=
729
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
729
×
(
1
3
)
n
u_{n} =729\times \left(\frac{1}{3}\right)^{n}
u
n
=
729
×
(
3
1
)
n
Question 4
Calculer
u
6
u_{6}
u
6
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
6
u_{6}
u
6
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
729
×
(
1
3
)
n
u_{n} =729\times \left(\frac{1}{3}\right)^{n}
u
n
=
729
×
(
3
1
)
n
Il vient alors que :
u
6
=
729
×
(
1
3
)
6
u_{6} =729\times \left(\frac{1}{3}\right)^{6}
u
6
=
729
×
(
3
1
)
6
Ainsi :
u
6
=
1
u_{6} =1
u
6
=
1