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Suites géométriques
Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 1
5 min
10
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
=
2
q=2
q
=
2
et de premier terme
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
.
Question 1
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
×
q
u_{n+1} =u_{n}\times q
u
n
+
1
=
u
n
×
q
où
q
q
q
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
géométrique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
×
2
u_{n+1} =u_{n}\times2
u
n
+
1
=
u
n
×
2
Finalement :
u
n
+
1
=
2
u
n
u_{n+1} =2u_{n}
u
n
+
1
=
2
u
n
Question 2
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Nous savons que
u
n
+
1
=
2
u
n
u_{n+1} =2u_{n}
u
n
+
1
=
2
u
n
et que
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
.
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 2.
Calcul de
u
1
u_{1}
u
1
.
u
0
+
1
=
2
×
u
0
u_{\red{0}+1} =2\times u_{\red{0}}
u
0
+
1
=
2
×
u
0
u
1
=
2
×
u
0
u_{1} =2\times u_{0}
u
1
=
2
×
u
0
u
1
=
2
×
4
u_{1} =2\times 4
u
1
=
2
×
4
d'où :
u
1
=
8
u_{1} =8
u
1
=
8
Calcul de
u
2
u_{2}
u
2
.
u
1
+
1
=
2
×
u
1
u_{\red{1}+1} =2\times u_{\red{1}}
u
1
+
1
=
2
×
u
1
u
2
=
2
×
u
1
u_{2} =2\times u_{1}
u
2
=
2
×
u
1
u
2
=
2
×
8
u_{2} =2\times 8
u
2
=
2
×
8
d'où :
u
2
=
16
u_{2} =16
u
2
=
16
Question 3
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
ou encore le terme général de la suite
u
n
u_{n}
u
n
est :
u
n
=
u
0
×
q
n
u_{n} =u_{0}\times q^{n}
u
n
=
u
0
×
q
n
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
u_{n} =u_{1}\times q^{n-1}
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_{n} =u_{p}\times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
4
×
2
n
u_{n} =4\times2^{n}
u
n
=
4
×
2
n
Question 4
Calculer
u
5
u_{5}
u
5
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
5
u_{5}
u
5
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
4
×
2
n
u_{n} =4\times2^{n}
u
n
=
4
×
2
n
Il vient alors que :
u
5
=
4
×
2
5
u_{5} =4\times2^{5}
u
5
=
4
×
2
5
Ainsi :
u
5
=
128
u_{5} =128
u
5
=
128