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Suites arithmétiques

Sens de variation d'une suite arithmétique - Exercice 1

6 min
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Déterminer le sens de variation pour chacune des suites arithmétiques ci-dessous :
Question 1

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison −1-1 et de premier terme u0=4u_{0}=4 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Nous savons que la suite (un)\left(u_{n}\right) admet une raison −1-1 et de premier terme u0=4u_{0}=4 .
Ainsi r=−1<0r=-1<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Question 2

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 33 et de premier terme u0=−4u_{0}=-4 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Nous savons que la suite (un)\left(u_{n}\right) admet une raison 33 et de premier terme u0=−4u_{0}=-4 .
Ainsi r=3>0r=3>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
Question 3

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 44 et de premier terme u0=1u_{0}=1 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Nous savons que la suite (un)\left(u_{n}\right) admet une raison 44 et de premier terme u0=1u_{0}=1 .
Ainsi r=4>0r=4>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
Question 4

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par u0=−23u_{0}=-\frac{2}{3} et un+1=un+13u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{3} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • D'après les hypothèses, nous savons que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=un+13u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{3} .
    Ainsi r=13>0r=\frac{1}{3}>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
    Question 5

    La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par u0=5u_{0}=5 et un+1=un−9u_{n+1}=u_{n}-9 .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • D'après les hypothèses, nous savons que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=un−9u_{n+1}=u_{n}-9 .
    Ainsi r=−9<0r=-9<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.