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Suites arithmétiques
Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 3
4 min
10
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
=
6
r=6
r
=
6
et de premier terme
u
1
=
−
4
u_{1} =-4
u
1
=
−
4
.
Question 1
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
+
r
u_{n+1} =u_{n}+r
u
n
+
1
=
u
n
+
r
où
r
r
r
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
arithmétique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
+
6
u_{n+1} =u_{n}+6
u
n
+
1
=
u
n
+
6
Question 2
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
0
+
n
×
r
u_{n} =u_{0} +n\times r
u
n
=
u
0
+
n
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
1
=
−
4
u_{1} =-4
u
1
=
−
4
et la raison
r
=
6
r=6
r
=
6
Il en résulte donc que :
u
n
=
−
4
+
(
n
−
1
)
×
6
u_{n} =-4 +\left(n-1\right)\times 6
u
n
=
−
4
+
(
n
−
1
)
×
6
u
n
=
−
4
+
6
n
−
6
u_{n} =-4 +6n-6
u
n
=
−
4
+
6
n
−
6
Autrement dit :
u
n
=
−
10
+
6
n
u_{n} =-10+6n
u
n
=
−
10
+
6
n
Question 3
Calculer
u
8
u_{8}
u
8
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
8
u_{8}
u
8
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
−
10
+
6
n
u_{n} =-10+6n
u
n
=
−
10
+
6
n
Il vient alors que :
u
8
=
−
10
+
6
×
8
u_{8} =-10+6\times 8
u
8
=
−
10
+
6
×
8
Ainsi :
u
8
=
38
u_{8} =38
u
8
=
38