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Suites arithmétiques
Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 2
5 min
10
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
=
−
4
r=-4
r
=
−
4
et de premier terme
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
.
Question 1
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
+
r
u_{n+1} =u_{n}+r
u
n
+
1
=
u
n
+
r
où
r
r
r
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
arithmétique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
−
4
u_{n+1} =u_{n}-4
u
n
+
1
=
u
n
−
4
Question 2
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Nous savons que
u
n
+
1
=
u
n
−
4
u_{n+1} =u_{n}-4
u
n
+
1
=
u
n
−
4
et que
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
.
Chaque terme se déduit du précédent en retranchant 4.
Calcul de
u
1
u_{1}
u
1
.
u
0
+
1
=
u
0
−
4
u_{\red{0}+1} = u_{\red{0}}-4
u
0
+
1
=
u
0
−
4
u
1
=
u
0
−
4
u_1=u_0-4
u
1
=
u
0
−
4
u
1
=
5
−
4
u_{1} =5-4
u
1
=
5
−
4
d'où :
u
1
=
1
u_{1} =1
u
1
=
1
Calcul de
u
2
u_{2}
u
2
.
u
1
+
1
=
u
1
−
4
u_{\red{1}+1} = u_{\red{1}}-4
u
1
+
1
=
u
1
−
4
u
2
=
u
1
−
4
u_{2} =u_{1}-4
u
2
=
u
1
−
4
u
2
=
1
−
4
u_{2} =1-4
u
2
=
1
−
4
d'où :
u
2
=
−
3
u_{2} =-3
u
2
=
−
3
Question 3
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
0
+
n
×
r
u_{n} =u_{0} +n\times r
u
n
=
u
0
+
n
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
et la raison
r
=
−
4
r=-4
r
=
−
4
Il en résulte donc que :
u
n
=
5
+
n
×
(
−
4
)
u_{n} =5 +n\times \left(-4\right)
u
n
=
5
+
n
×
(
−
4
)
Autrement dit :
u
n
=
5
−
4
n
u_{n} =5-4n
u
n
=
5
−
4
n
Question 4
Calculer
u
7
u_{7}
u
7
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
7
u_{7}
u
7
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
5
−
4
n
u_{n} =5-4n
u
n
=
5
−
4
n
Il vient alors que :
u
7
=
5
−
4
×
7
u_{7} =5-4\times7
u
7
=
5
−
4
×
7
Ainsi :
u
7
=
−
23
u_{7} =-23
u
7
=
−
23