Probabilités conditionnelles : ce qu'il faut savoir pour le contrôle - Exercice 1

Nous donnons ci-dessous l'arbre pondéré remplit de manière théorique, comme vu en cours. Sur chaque branche, apparaisse les noms des probabilités correspondantes.Il en résulte donc que :

$$p\left(A\right)=0,52$$

$$p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,43$$

$$p_A\left(B\right)=0,29$$

D'après les hypothèses, nous savons que : Ainsi :

$$p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-0,52=0,48$$

$$p_{A}\left(\overline{B}\right)=1- p_{A}\left(B\right)=1-0,29=0,71$$

$$p_{\overline{A}}\left(B\right)=1- p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=1-0,43=0,57$$

Ce qui nous donne :

Pour calculer la probabilité $$p\left(A\cap B\right)$$ il nous suffit de faire le produit des probabilités des branches passant par le chemin $$A$$ puis par $$B$$.
Ainsi :
$$p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p_A\left(B\right)$$
$$p\left(A\cap B\right)=0,52\times0,29$$
D'où :

Pour calculer la probabilité $$p\left(\overline{A}\cap B\right)$$ il nous suffit de faire le produit des probabilités des branches passant par le chemin $$\overline{A}$$ puis par $$B$$.
Ainsi :
$$p\left(\overline{A}\cap B\right)=p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)$$
$$p\left(\overline{A}\cap B\right)=0,48\times0,57$$
D'où :

$$p\left(B\right)$$ est la probabilité des chemins qui arrivent en $$B$$ .
Cela se traduit par :
$$p\left(B\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(\overline{A}\cap B\right)$$
$$p\left(B\right)=0,1508+0,2736$$
Ainsi :