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Phénomènes aléatoires : probabilités conditionnelles

Exercices types (tableaux) : 11ère partie - Exercice 2

20 min
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Le comité d’entreprise d’une société française souhaite organiser un week-end à Rome. Une enquête est faite auprès des 11 200200 employés de cette société afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport.
Les moyens de transport proposés sont le train, l’avion ou l’autocar.
Les résultats de l’enquête sont répertoriés dans le tableau ci-dessous :
On note :
  • FF l’évènement : « l’employé interrogé est une femme »;
  • TT l’évènement : « l’employé interrogé choisit le train ».
    Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
    • Question 1

    Calculer la probabilité p(T)p\left(T\right).

    Correction
    La probabilité p(T)p\left(T\right) est la probabilité : « l’employé interrogé choisit le train »
    p(T)=nombre des issues favorables pour Tnombre des issues possiblesp\left(T\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }T}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    p(T)=6181200p\left(T\right)=\frac{\color{blue}618}{\color{red}1200} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
    p(T)=103200p\left(T\right)=\frac{103}{200}
    Question 2

    Calculer la probabilité p(F)p\left(F\right) .

    Correction
    La probabilité p(F)p\left(F\right) est la probabilité : « l’employé interrogé est une femme »
    p(F)=nombre des issues favorables pour Fnombre des issues possiblesp\left(F\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    p(F)=7201200p\left(F\right)=\frac{\color{blue}720}{\color{red}1200} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
    p(F)=35p\left(F\right)=\frac{3}{5}
    Question 3

    Déterminer la probabilité que l’employé interrogé ne choisisse pas le train.

    Correction
    Pour déterminer la probabilité que l’employé interrogé ne choisisse pas le train se traduit par p(T‾)p\left(\overline{T}\right) .
    D'après la question 11, nous avons vu que : p(T)=103200p\left(T\right)=\frac{103}{200}
    Soit AA un évènement quelconque et A‾\overline{A} son évènement contraire ( ou complémentaire ), on a :
    • P(A‾)=1−P(A)P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)
    Il en résulte donc que :
    P(T‾)=1−P(T)P\left(\overline{T}\right)=1-P\left(T\right)
    P(T‾)=1−103200P\left(\overline{T}\right)=1-\frac{103}{200}
    P(T‾)=200200−103200P\left(\overline{T}\right)=\frac{200}{200}-\frac{103}{200}
    Ainsi :
    P(T‾)=97200P\left(\overline{T}\right)=\frac{97}{200}
    Question 4

    Expliquer ce que représente l’évènement F∩TF\cap T puis calculer sa probabilité.

    Correction
    L'évènement F∩TF\cap T correspond à l'évènement : l'employé est une femme et{\color{blue}{\text{et}}} l’employé choisit le train .
    p(F∩T)=nombre des issues favorables pour F∩Tnombre des issues possiblesp\left(F\cap T\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F\cap T}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    Ainsi :
    p(F∩T)=4681200p\left(F\cap T\right)=\frac{{\color{blue}468} }{\red{1200}}
    et l'on peut simplifier sous la forme p(F∩T)=39100p\left(F\cap T\right)=\frac{39}{100}
    Question 5

    L’employé interrogé a choisi le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'employé interrogé a choisi le train, quelle est la probabilité que ce soit une femme.
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    PT(F)=P(F∩T)P(T)P_{T} \left(F\right)=\frac{P\left(F\cap T\right)}{P\left(T\right)}
    PT(F)=P(F∩T)P(T)P_{T} \left(F\right)=\frac{P\left(F\cap T\right)}{P\left(T\right)}
    PT(F)=46812006181200P_{T} \left(F\right)=\frac{\frac{468}{1200}}{\frac{618}{1200}}
    PT(F)=468618P_{T} \left(F\right)=\frac{468}{618} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
    PT(F)=28103P_{T} \left(F\right)=\frac{28}{103}

    Question 6

    Les évènements FF et TT sont ils indépendants ?

    Correction
      Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
    • p(A)=pB(A)p\left(A\right)=p_B\left(A\right)
    D'après les questions précédentes, on peut vérifier facilement que : p(F)=35p\left(F\right)=\frac{3}{5} et pT(F)=28103p_T\left(F\right)=\frac{28}{103}
    Ainsi :
    p(F)≠pT(F)p\left(F\right)\ne p_T\left(F\right)
    .
    Il en résulte que les évènements FF et TT ne sont pas indépendants.