🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Phénomènes aléatoires : probabilités conditionnelles

Exercices types (arbres de probabilités) : 22ème partie - Exercice 1

10 min
25
Un organisme de vacances propose des séjours en France et à l’étranger pour des jeunes. Ces derniers sont répartis en deux catégories suivant leur âge : adolescents ou jeunes enfants.
  • 40%40\% des participants sont des adolescents et parmi eux, 70%70\% choisissent un séjour à l’étranger.
  • Parmi les jeunes enfants, 90%90\% choisissent un séjour en France.
    • On interroge au hasard un participant à un séjour de cet organisme.
    On note :
  • AA l’évènement « le participant est un adolescent »,
  • FF l’évènement « le participant choisit un séjour en France ».
    • Question 1

    Compléter les branches de l’arbre de probabilité ci-dessus pour qu’il représente la situation.

    Correction
  • 40%40\% des participants sont des adolescents se traduit par p(A)=0,4p\left(A\right)=0,4 .
  • Parmi les adolescents, 70%70\% choisissent un séjour à l’étranger se traduit par pA(F‾)=0,7p_{A}\left(\overline{F}\right)=0,7 .
  • Parmi les jeunes enfants, 90%90\% choisissent un séjour en France se traduit par pA‾(F)=0,9p_{\overline{A}}\left(F\right)=0,9 .
    • Question 2

    Calculer la probabilité que le participant soit un adolescent et qu’il choisisse un séjour à l’étranger.

    Correction
    La probabilité que le participant soit un adolescent et qu’il choisisse un séjour à l’étranger se traduit par p(A∩F‾)p\left(A\cap \overline{F}\right) .
    Pour calculer la probabilité p(A∩F‾)p\left(A\cap \overline{F}\right) il nous suffit de faire le produit des probabilités des branches passant par le chemin AA puis par F‾\overline{F}.
    Ainsi :
    p(A∩F‾)=p(A)×pA(F‾)p\left(A\cap \overline{F}\right)=p\left(A\right)\times p_A\left(\overline{F}\right)
    p(A∩F‾)=0,4×0,7p\left(A\cap \overline{F}\right)=0,4\times0,7
    D'où :
    p(A∩F‾)=0,28p\left(A\cap \overline{F}\right)=0,28

    Question 3

    Montrer que la probabilité qu’un participant choisisse un séjour à l’étranger est 0,340,34 .

    Correction
  • F‾\overline{F} l’évènement « le participant choisit un séjour à l'étranger ».
    • Nous devons calculer la probabilité p(F‾)p\left(\overline{F}\right) .
    p(F‾)p\left(\overline{F}\right) est la probabilité des chemins qui arrivent en F‾\overline{F} .
    Cela se traduit par :
    p(F‾)=p(A∩F‾)+p(A‾∩F‾)p\left(\overline{F}\right)=p\left(A\cap \overline{F}\right)+p\left(\overline{A}\cap \overline{F}\right)
    p(F‾)=p(A)×pA(F‾)+p(A‾)×pA‾(F‾)p\left(\overline{F}\right)=p\left(A\right)\times p_A\left(\overline{F}\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(\overline{F}\right)
    p(F‾)=0,4×0,7+0,6×0,1p\left(\overline{F}\right)=0,4\times0,7+0,6\times0,1
    Ainsi :
    p(F‾)=0,34p\left(\overline{F}\right)=0,34