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Fonctions exponentielles

Déterminer un taux d'évolution moyen - Exercice 1

12 min
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Question 1

Une montre augmente de 20%20\% en un an. Déterminer le taux d'évolution moyen trimestriel.

Correction
  • Soit nn un entier.
    On note TT le taux global correspondant à nn évolutions successives. On note tt le taux d'évolution moyen correspondant à ces nn évolutions.
    On a alors : (1+t)n=1+T{\left(1+t\right)}^n=1+T ou encore t=(1+T)1n−1t={\left(1+T\right)}^{\frac{1}{n}}-1
Dans une année, nous avons 44 trimestres donc ici nous avons n=4n=4 .
L'augmentation de 20%20\% correspond ici au taux global ainsi T=20%T=20\% .
Nous cherchons le taux d'évolution moyen trimestriel que l'on note tt .
D'après la définition, ci-dessous, nous pouvons alors écrire que :
(1+t)4=1+20100{\left(1+t\right)}^4=1+\frac{20}{100} . En détaillant toutes les étapes, il vient que :
(1+t)4=1,2{\left(1+t\right)}^4=1,2
1+t=1,2141+t=1,2^{\frac{1}{4}}
t=1,214−1t=1,2^{\frac{1}{4}}-1
t≈0,047t\approx0,047 à 10−310^{-3} près
Ainsi :
t≈4,7%t\approx 4,7\%

Si une montre augmente de 20%20\% en un an. Le taux d'évolution moyen trimestriel est environ de 4,7%4,7\% .
Question 2

Un instagrammeur célèbre voit ces abonnés augmenter de 50%50\% en un semestre. Déterminer le taux d'évolution moyen mensuel de ces abonnés.

Correction
  • Soit nn un entier.
    On note TT le taux global correspondant à nn évolutions successives. On note tt le taux d'évolution moyen correspondant à ces nn évolutions.
    On a alors : (1+t)n=1+T{\left(1+t\right)}^n=1+T ou encore t=(1+T)1n−1t={\left(1+T\right)}^{\frac{1}{n}}-1
Dans un semestre, nous avons 66 mois donc ici nous avons n=6n=6 .
L'augmentation de 50%50\% correspond ici au taux global ainsi T=50%T=50\% .
Nous cherchons le taux d'évolution moyen trimestriel que l'on note tt .
D'après la définition, ci-dessous, nous pouvons alors écrire que :
(1+t)6=1+50100{\left(1+t\right)}^6=1+\frac{50}{100} . En détaillant toutes les étapes, il vient que :
(1+t)6=1,5{\left(1+t\right)}^6=1,5
1+t=1,5161+t=1,5^{\frac{1}{6}}
t=1,516−1t=1,5^{\frac{1}{6}}-1
t≈0,07t\approx0,07 à 10−210^{-2} près
Ainsi :
t≈7%t\approx 7\%

Notre instagrammeur célèbre voit ces abonnés augmenter de 50%50\% en un semestre et de ce fait le taux d'évolution moyen mensuel de ces abonnés est environ de 7%7\% .
Question 3

Le taux d'inflation annuel de la zone euro s'est établi à 6,9%6,9\% en mars 20232023. Quel est le taux d'inflation mensuel entre mars 20222022 et mars 20232023.

Correction
  • Soit nn un entier.
    On note TT le taux global correspondant à nn évolutions successives. On note tt le taux d'évolution moyen correspondant à ces nn évolutions.
    On a alors : (1+t)n=1+T{\left(1+t\right)}^n=1+T ou encore t=(1+T)1n−1t={\left(1+T\right)}^{\frac{1}{n}}-1
Dans une année, nous avons 1212 mois donc ici nous avons n=12n=12 .
L'augmentation de 6,9%6,9\% correspond ici au taux global ainsi T=6,9%T=6,9\% .
Nous cherchons le taux d'évolution moyen trimestriel que l'on note tt .
D'après la définition, ci-dessous, nous pouvons alors écrire que :
(1+t)12=1+6,9100{\left(1+t\right)}^{12}=1+\frac{6,9}{100} . En détaillant toutes les étapes, il vient que :
(1+t)12=1,069{\left(1+t\right)}^{12}=1,069
1+t=1,0691121+t=1,069^{\frac{1}{12}}
t=1,069112−1t=1,069^{\frac{1}{12}}-1
t≈0,006t\approx0,006 à 10−310^{-3} près
Ainsi :
t≈0,6%t\approx 0,6\%

Le taux d'inflation mensuel entre mars 20222022 et mars 20232023 est environ de 0,6%0,6\% .
Question 4

On admet qu'un mois comporte 3030 jours. Le prix d'un article très rare a augmenté de 40%40\% en un mois. Déterminer le taux d'évolution moyen journalier .

Correction
  • Soit nn un entier.
    On note TT le taux global correspondant à nn évolutions successives. On note tt le taux d'évolution moyen correspondant à ces nn évolutions.
    On a alors : (1+t)n=1+T{\left(1+t\right)}^n=1+T ou encore t=(1+T)1n−1t={\left(1+T\right)}^{\frac{1}{n}}-1
D'après les hypothèses, On admet qu'un mois comporte 3030 jours donc ici nous avons n=30n=30 .
L'augmentation de 40%40\% correspond ici au taux global ainsi T=40%T=40\% .
Nous cherchons le taux d'évolution moyen trimestriel que l'on note tt .
D'après la définition, ci-dessous, nous pouvons alors écrire que :
(1+t)30=1+40100{\left(1+t\right)}^{30}=1+\frac{40}{100} . En détaillant toutes les étapes, il vient que :
(1+t)30=1,4{\left(1+t\right)}^{30}=1,4
1+t=1,41301+t=1,4^{\frac{1}{30}}
t=1,4130−1t=1,4^{\frac{1}{30}}-1
t≈0,011t\approx0,011 à 10−310^{-3} près
Ainsi :
t≈1,1%t\approx 1,1\%

Le taux d'évolution moyen journalier est environ de 1,1%1,1\% .