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Fonctions exponentielles

Déterminer le sens de variations des fonctions exponentielles de la forme x↦axx\mapsto a^{x} - Exercice 1

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Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ :
Question 1

f(x)=6xf\left(x\right)=6^{x}

Correction
    Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=6xf\left(x\right)=6^{x} où a=6>1a=6>1 .
    Il en résulte donc que f(x)=6x f\left(x\right)=6^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 2

    g(x)=(74)xg\left(x\right)=\left(\frac{7}{4} \right)^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit g(x)=(74)xg\left(x\right)=\left(\frac{7}{4} \right)^{x} où a=74>1a=\frac{7}{4}>1 .
    Il en résulte donc que g(x)=(74)xg\left(x\right)=\left(\frac{7}{4} \right)^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 3

    h(x)=0,35xh\left(x\right)=0,35^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit h(x)=0,35xh\left(x\right)=0,35^{x} où a=0,35<1a=0,35<1 .
    Il en résulte donc que h(x)=0,35xh\left(x\right)=0,35^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 4

    i(x)=(113)xi\left(x\right)=\left(\frac{11}{3} \right)^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit i(x)=(113)xi\left(x\right)=\left(\frac{11}{3} \right)^{x} où a=113>1a=\frac{11}{3}>1 .
    Il en résulte donc que i(x)=(113)xi\left(x\right)=\left(\frac{11}{3} \right)^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 5

    j(x)=1,02xj\left(x\right)=1,02^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit j(x)=1,02xj\left(x\right)=1,02^{x} où a=1,02>1a=1,02>1 .
    Il en résulte donc que i(x)=1,02xi\left(x\right)=1,02^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 6

    k(x)=0,86xk\left(x\right)=0,86^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit k(x)=0,86xk\left(x\right)=0,86^{x} où a=0,86<1a=0,86<1 .
    Il en résulte donc que k(x)=0,86xk\left(x\right)=0,86^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .