Résoudre des inéquations du premier degré - Exercice 1

10 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.
Question 1

2x−16≥02x-16\ge0

Correction
2x−16≥02x-16\ge0 équivaut successivement à :
2x≥162x\ge16
x≥162x\ge \frac{16}{2}
x≥8x\ge 8
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[8;+∞[S=\left[8;+\infty \right[

Question 2

21−3x≥021-3x\ge0

Correction
−3x≥−21-3x\ge -21 équivaut successivement à :
x≤−21−3x\le \frac{-21}{-3}     \;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −3\red{-3} qui est un nombre négatif.
x≤7x\le 7
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;7]S=\left]-\infty ;7\right]

Question 3

8x−5<3x−18x-5<3x-1

Correction
8x−5<3x−18x-5<3x-1 équivaut successivement à :
8x<3x−1+58x<3x-1+5
8x<3x+48x<3x+4
8x−3x<48x-3x<4
5x<45x<4
x<45x<\frac{4}{5}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;45[S=\left]-\infty ;\frac{4}{5}\right[

Question 4

2x+7≥5x+12x+7\ge 5x+1

Correction
2x+7≥5x+12x+7\ge 5x+1 équivaut successivement à :
2x≥5x+1−72x\ge 5x+1-7
2x≥5x−62x\ge 5x-6
2x−5x≥−62x-5x\ge -6
−3x≥−6-3x\ge -6
x≤−6−3x\le \frac{-6}{-3}     \;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −3\red{-3} qui est un nombre négatif.
x≤2x\le 2
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;2]S=\left]-\infty ;2\right]

Question 5

−4x+6≤3-4x+6\le 3

Correction
−4x+6≤3-4x+6\le 3 équivaut successivement à :
−4x≤3−6-4x\le 3-6
−4x≤−3-4x\le -3
x≥−3−4x\ge \frac{-3}{-4}     \;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −4\red{-4} qui est un nombre négatif.
x≥34x\ge \frac{3}{4}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[34;+∞[S=\left[\frac{3}{4};+\infty \right[
Question 6

12x+6>0\frac{1}{2}x+6>0

Correction
12x+6>0\frac{1}{2}x+6>0 équivaut successivement à :
12x>−6\frac{1}{2}x>-6
x>−6÷12x>-6\div \frac{1}{2} qui s'écrit également x>−612x>\frac{-6}{\frac{1}{2}}
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
x>−6×21x>-6\times \frac{2}{1}
x>−12x>-12
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−12;+∞[S=\left]-12;+\infty \right[

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