Déterminer l'expression d'une fonction affine à l'aide des informations $$f\left(x_1\right)=y_1$$ et $$f\left(x_2\right)=y_2$$ - Exercice 2

Les points $$A\left(2;7\right)$$ et $$B\left(3;8\right)$$ appartiennent à la représentation de la fonction $$f$$.
Il en résulte donc que nous pouvons traduire que :

le point $$A\left(2;7\right)$$ appartient à la représentation de la fonction $$f$$ par $$f\left(2\right)=7$$

le point $$B\left(3;8\right)$$ appartient à la représentation de la fonction $$f$$ par $$f\left(3\right)=8$$

$$f$$ est une fonction affine d’où pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=mx+p$$.
1^ère étape : Calculons le taux d'accroissement $$m$$.
$$m=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$
$$m=\frac{f\left(2\right)-f\left(3\right)}{2-3}$$
$$m=\frac{7-8}{2-3 }$$
$$m=\frac{-1}{-1}$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=1\times x+p$$ que l'on peut aussi écrire $$f\left(x\right)=x+p$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$p$$.
Nous savons que $$f\left(2\right)=7$$ et comme $$f\left(x\right)=x+p$$ . Nous allons remplacer $$x$$ par $$2$$ et le résultat devra être égal à $$7$$ .
Ce qui nous donne :
$$2+p=7$$ équivaut successivement à :
$$p=7-2$$

Finalement, $$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=x+5$$.

Les points $$A\left(1;8\right)$$ et $$B\left(-1;-2\right)$$ appartiennent à la représentation de la fonction $$f$$.
Il en résulte donc que nous pouvons traduire que :

le point $$A\left(1;8\right)$$ appartient à la représentation de la fonction $$f$$ par $$f\left(1\right)=8$$

le point $$B\left(-1;-2\right)$$ appartient à la représentation de la fonction $$f$$ par $$f\left(-1\right)=-2$$

$$f$$ est une fonction affine d’où pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=mx+p$$.
1^ère étape : Calculons le taux d'accroissement $$m$$.
$$m=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$
$$m=\frac{f\left(1\right)-f\left(-1\right)}{1-\left(-1\right)}$$
$$m=\frac{8-\left(-2\right)}{1+1 }$$
$$m=\frac{8+2}{1+1 }$$
$$m=\frac{10}{2}$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=5 x+p$$ .
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$p$$.
Nous savons que $$f\left(1\right)=8$$ et comme $$f\left(x\right)=5x+p$$ . Nous allons remplacer $$x$$ par $$1$$ et le résultat devra être égal à $$8$$ .
Ce qui nous donne :
$$5\times1+p=8$$ équivaut successivement à :
$$5+p=8$$
$$p=8-5$$

Finalement, $$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=5x+3$$.