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Dérivation et variations globales

Lecture graphique : nombre dérivée et tangente - Exercice 1

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Question 1

La courbe Cf\mathscr{C_f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse AA.
On admet que ff est dérivable en 00. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivée f′(0)f'\left(0\right) .

Correction
f′(0)f'\left(0\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente à la courbe au point d'abscisse 00. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(0;−2)A\left(0;-2\right) et B(1;0)B\left(1;0\right) appartiennent à cette tangente. Nous écrivons ainsi que f(0)=−2f\left(0\right)=-2 et f(1)=0f\left(1\right)=0
Soient mm et pp deux réels et ff la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf\left(x\right)=mx+p
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb se calcule de la manière suivante : m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} et mm est constant.
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb est également appelé coefficient directeur.
A l'aide du point AA et du point BB on va pouvoir donner le coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente.
f′(0)=f(0)−f(1)0−1f'\left(0\right)=\frac{f\left(0\right)-f\left(1\right) }{0-1 }
f′(0)=−2−00−1f'\left(0\right)=\frac{-2-0}{0-1}
Ainsi :
f′(0)=2f'\left(0\right)=2

Question 2

La courbe Cf\mathscr{C_f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse AA.
On admet que ff est dérivable en −3-3. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivée f′(−3)f'\left(-3\right) .

Correction
f′(−3)f'\left(-3\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente à la courbe au point d'abscisse −3-3. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(−3;−2)A\left(-3;-2\right) et B(−5;−7)B\left(-5;-7\right) appartiennent à cette tangente. Nous écrivons ainsi que f(−3)=−2f\left(-3\right)=-2 et f(−5)=−7f\left(-5\right)=-7
Soient mm et pp deux réels et ff la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf\left(x\right)=mx+p
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb se calcule de la manière suivante : m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} et mm est constant.
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb est également appelé coefficient directeur.
A l'aide du point AA et du point BB on va pouvoir donner le coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente.
f′(−3)=f(−3)−f(−5)−3−(−5)f'\left(-3\right)=\frac{f\left(-3\right)-f\left(-5\right) }{-3-\left(-5\right) }
f′(−3)=−2−(−7)−3+5f'\left(-3\right)=\frac{-2-\left(-7\right)}{-3+5}
Ainsi :
f′(−3)=52f'\left(-3\right)=\frac{5}{2}

Question 3

La courbe Cf\mathscr{C_f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse AA.
On admet que ff est dérivable en 22. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivée f′(2)f'\left(2\right) .

Correction
f′(2)f'\left(2\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente à la courbe au point d'abscisse 22. (Ici la tangente est bleue)
La tangente est horizontale. Cela signifie que le coefficient directeur est nul.
Ainsi :
f′(2)=0f'\left(2\right)=0

Question 4

La courbe Cf\mathscr{C_f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse AA.
On admet que ff est dérivable en −5-5. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivée f′(−5)f'\left(-5\right) .

Correction
f′(−5)f'\left(-5\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente à la courbe au point d'abscisse −5-5. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(−5;−2)A\left(-5;-2\right) et B(−10;4)B\left(-10;4\right) appartiennent à cette tangente. Nous écrivons ainsi que f(−5)=−2f\left(-5\right)=-2 et f(−10)=4f\left(-10\right)=4
Soient mm et pp deux réels et ff la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf\left(x\right)=mx+p
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb se calcule de la manière suivante : m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} et mm est constant.
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb est également appelé coefficient directeur.
A l'aide du point AA et du point BB on va pouvoir donner le coefficient directeur (taux d'accroissement ) de la tangente.
f′(−3)=f(−5)−f(−10)−5−(−10)f'\left(-3\right)=\frac{f\left(-5\right)-f\left(-10\right) }{-5-\left(-10\right) }
f′(−3)=−2−4−5+10f'\left(-3\right)=\frac{-2-4}{-5+10}
Ainsi :
f′(−3)=−65=−65f'\left(-3\right)=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}