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Déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme de degré 33 - Exercice 1

15 min
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Soit ff la fonction définie sur [−3;3]\left[-3;3\right] par f(x)=2x3−3x2−12x+1f\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x+1 . On admet que ff est dérivable sur [−3;3]\left[-3;3\right] .
Question 1

Calculer f′(x)f'\left(x\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=2×3x2−3×2x−12f'\left(x\right)=2\times3x^{2}-3\times2x-12
    Ainsi :
    f′(x)=6x2+6x−12f'\left(x\right)=6x^{2}+6x-12

    Question 2

    Montrer que pour tout réel x∈[−3;3]x\in \left[-3;3\right] : f′(x)=(2x−4)(3x+3)f'\left(x\right)=\left(2x-4\right)\left(3x+3\right)

    Correction
    Nous allons introduire une fonction hh définie et dérivable sur [−3;3]\left[-3;3\right] tel que : h(x)=(2x−4)(3x+3)h\left(x\right)=\left(2x-4\right)\left(3x+3\right) .
    Nous allons développer l'expression de la fonction hh et nous allons vérifier qu'elle est bien égale à f′f'.
    h(x)=2x×3x+2x×3+(−4)×3x+(−4)×3h\left(x\right)=2x\times 3x+2x\times 3+\left(-4\right)\times 3x+\left(-4\right)\times 3
    h(x)=6x2+6x−12x−12h\left(x\right)=6x^2+6x-12x-12
    h(x)=6x2−6x−12h\left(x\right)=6x^2-6x-12
    Ainsi :
    h(x)=f′(x)h\left(x\right)=f'\left(x\right)

    Il en résulte donc que pour tout réel x∈[−3;3]x\in \left[-3;3\right] : f′(x)=(2x−4)(3x+3)f'\left(x\right)=\left(2x-4\right)\left(3x+3\right)
    Question 3

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) sur l'intervalle [−3;3]\left[-3;3\right] et en déduire le tableau de variation de la fonction ff .

    Correction
    Pour étudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) nous allons étudier le signe de 2x−42x-4 et le signe de 3x+33x+3 .
  • D'une part :
    • 2x−4=0⇔2x=4⇔x=42=22x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}=2
    Soit x↦2x−4x\mapsto 2x-4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−42x-4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D'autre part :
    • 3x+3=0⇔3x=−3⇔x=−33=−13x+3=0\Leftrightarrow 3x=-3\Leftrightarrow x=\frac{-3}{3}=-1
    Soit x↦3x+3x\mapsto 3x+3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x+33x+3 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    De plus :
  • f(−3)=2×(−3)3−3×(−3)2−12×(−3)+1⇔f(−3)=−44f\left(-3\right)=2\times\left(-3\right)^3-3\times\left(-3\right)^2-12\times\left(-3\right)+1 \Leftrightarrow f\left(-3\right)=-44
  • f(−1)=2×(−1)3−3×(−1)2−12×(−1)+1⇔f(−1)=8f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^3-3\times\left(-1\right)^2-12\times\left(-1\right)+1 \Leftrightarrow f\left(-1\right)=8
  • f(2)=2×23−3×22−12×2+1⇔f(2)=−19f\left(2\right)=2\times2^3-3\times2^2-12\times2+1 \Leftrightarrow f\left(2\right)=-19
  • f(3)=2×33−3×32−12×3+1⇔f(3)=−8f\left(3\right)=2\times3^3-3\times3^2-12\times3+1 \Leftrightarrow f\left(3\right)=-8