Déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme de degré $$2$$ - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;7\right]$$.
$$f'\left(x\right)=-2\times 2x+20$$
Ainsi :

D'après la question précédente, nous savons que :
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation $$f'\left(x\right)= 0$$.
1^ère étape : Résoudre l'équation $$f'\left(x\right)=0$$
$$f'\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-4x+20= 0$$
$$-4x= -20$$
$$x= \frac{-20}{-4}$$

2^ème étape : Donner le sens de variation de la fonction $$f'$$.
Soit $$x\mapsto -4x+20$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) $$m=-4<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-4x+20$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[5;7\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

$$f\left(0\right)=-2\times 0^2+20\times 0+1\Leftrightarrow f\left(0\right)=1$$

$$f\left(5\right)=-2\times 5^2+20\times 5+1\Leftrightarrow f\left(5\right)=51$$

$$f\left(7\right)=-2\times 7^2+20\times 7+1\Leftrightarrow f\left(7\right)=43$$