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Déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme de degré 22 - Exercice 2

6 min
20
Soit ff la fonction définie sur [0;7]\left[0;7\right] par f(x)=−2x2+20x+1f\left(x\right)=-2x^2+20x+1 . On admet que ff est dérivable sur [0;7]\left[0;7\right] .
Question 1

Calculer f′(x)f'\left(x\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • ff est dérivable sur [0;7]\left[0;7\right].
    f′(x)=−2×2x+20f'\left(x\right)=-2\times 2x+20
    Ainsi :
    f′(x)=−4x+20f'\left(x\right)=-4x+20
    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) sur l'intervalle [0;7]\left[0;7\right] et en déduire le tableau de variation de la fonction ff .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente, nous savons que :
    f′(x)=−4x+20f'\left(x\right)=-4x+20

    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation f′(x)=0f'\left(x\right)= 0.
    1ère étape : Résoudre l'équation f′(x)=0f'\left(x\right)=0
    f′(x)=0f'\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    −4x+20=0-4x+20= 0
    −4x=−20-4x= -20
    x=−20−4x= \frac{-20}{-4}
    x=5x=5

    2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction f′f'.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    Soit x↦−4x+20x\mapsto -4x+20 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−4<0m=-4<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −4x+20-4x+20 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[0;5]x\in\left[0;5\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[5;7]x\in\left[5;7\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    De plus :
  • f(0)=−2×02+20×0+1⇔f(0)=1f\left(0\right)=-2\times 0^2+20\times 0+1\Leftrightarrow f\left(0\right)=1
  • f(5)=−2×52+20×5+1⇔f(5)=51f\left(5\right)=-2\times 5^2+20\times 5+1\Leftrightarrow f\left(5\right)=51
  • f(7)=−2×72+20×7+1⇔f(7)=43f\left(7\right)=-2\times 7^2+20\times 7+1\Leftrightarrow f\left(7\right)=43