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Déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme de degré 22 - Exercice 1

8 min
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Soit ff la fonction définie sur [3;2]\left[-3;2\right] par f(x)=3x2+12x5f\left(x\right)=3x^2+12x-5 . On admet que ff est dérivable sur [3;2]\left[-3;2\right] .
Question 1

Calculer f(x)f'\left(x\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • ff est dérivable sur [3;2]\left[-3;2\right].
    f(x)=3×2x+12f'\left(x\right)=3\times 2x+12
    Ainsi :
    f(x)=6x+12f'\left(x\right)=6x+12

    Question 2

    Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) sur l'intervalle [3;2]\left[-3;2\right] et en déduire le tableau de variation de la fonction ff .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente, nous savons que :
    f(x)=6x+12f'\left(x\right)=6x+12

    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation f(x)=0f'\left(x\right)= 0.
    1ère étape : Résoudre l'équation f(x)=0f'\left(x\right)=0
    f(x)=0f'\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    6x+12=06x+12= 0
    6x=126x=-12
    x=126x= \frac{-12}{6}
    x=2x=-2

    2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction ff'.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    Soit x6x+12x\mapsto 6x+12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=6>0m=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x+126x+12 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Il en résulte donc que :
    • si x[3;2]x\in\left[-3;-2\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x[2;2]x\in\left[-2;2\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    De plus :
  • f(3)=3×(3)2+12×(3)5f(3)=14f\left(-3\right)=3\times\left(-3\right)^2+12\times\left(-3\right)-5\Leftrightarrow f\left(-3\right)=-14
  • f(2)=3×(2)2+12×(2)5f(2)=17f\left(-2\right)=3\times\left(-2\right)^2+12\times\left(-2\right)-5\Leftrightarrow f\left(-2\right)=-17
  • f(2)=3×22+12×25f(2)=31f\left(2\right)=3\times2^2+12\times2-5\Leftrightarrow f\left(2\right)=31