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Dérivation et variations globales

Déterminer l'expression de la dérivée d'une fonction polynôme - Exercice 3

5 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−5x+3f\left(x\right)=2x^{2} -5x+3 . On admet que ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
Calculer le nombre dérivée de ff en 33 .

Correction
Dans un premier temps, nous allons calculer la dérivée de la fonction ff.
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • f′(x)=2×2x−5f'\left(x\right)=2\times2x-5
    Ainsi :
    f′(x)=4x−5f'\left(x\right)=4x-5

    Nous pouvons maintenant calculer le nombre dérivée de ff en 33, il vient alors que :
    f′(3)=4×3−5f'\left(3\right)=4\times3-5 ce qui nous donne
    f′(3)=7f'\left(3\right)=7
    Question 2

    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−4x2−2x+3f\left(x\right)=x^{3}-4x^{2}-2x+3 . On admet que ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Calculer le nombre dérivée de ff en −1-1 .

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons calculer la dérivée de la fonction ff.
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=3x2−4×2x−2f'\left(x\right)=3x^{2}-4\times2x-2
    Ainsi :
    f′(x)=3x2−8x−2f'\left(x\right)=3x^{2}-8x-2

    Nous pouvons maintenant calculer le nombre dérivée de ff en −1-1, il vient alors que :
    f′(−1)=3×(−1)2−8×(−1)−2f'\left(-1\right)=3\times\left(-1\right)^2-8\times\left(-1\right)-2 ce qui nous donne
    f′(−1)=9f'\left(-1\right)=9
    Question 3

    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3+x2+5x−1f\left(x\right)=2x^{3}+x^{2}+5x-1 . On admet que ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Calculer f′(2)f'\left(2\right) .

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons calculer la dérivée de la fonction ff.
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=2×3x2+2x+5f'\left(x\right)=2\times3x^{2}+2x+5
    Ainsi :
    f′(x)=6x2+2x+5f'\left(x\right)=6x^{2}+2x+5

    Nous pouvons maintenant calculer le nombre dérivée de ff en 22, il vient alors que :
    f′(2)=6×22+2×2+5f'\left(2\right)=6\times2^{2}+2\times2+5 ce qui nous donne
    f′(2)=33f'\left(2\right)=33