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Déterminer l'expression de la dérivée d'une fonction polynôme - Exercice 1

10 min
25
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
Dans cet exercice, on admettra que toutes les fonctions sont dérivables sur R\mathbb{R} .
Question 1

f(x)=x2−3x−1f\left(x\right)=x^{2} -3x-1

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • Ainsi :
    f′(x)=2x−3f'\left(x\right)=2x-3
    Question 2

    f(x)=4x2−7x+6f\left(x\right)=4x^{2} -7x+6

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • f′(x)=4×2x−7f'\left(x\right)=4\times2x-7
    Ainsi :
    f′(x)=8x−7f'\left(x\right)=8x-7

    Question 3

    f(x)=x3−3x2+8x−1f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}+8x-1

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=3x2−3×2x+8f'\left(x\right)=3x^{2}-3\times2x+8
    Ainsi :
    f′(x)=3x2−6x+8f'\left(x\right)=3x^{2}-6x+8

    Question 4

    f(x)=4x3+3x2−7x+5f\left(x\right)=4x^{3}+3x^{2}-7x+5

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=4×3x2+3×2x−7f'\left(x\right)=4\times3x^{2}+3\times2x-7
    Ainsi :
    f′(x)=12x2+6x−7f'\left(x\right)=12x^{2}+6x-7

    Question 5

    f(x)=5x2+7x−32f\left(x\right)=\frac{5x^{2} +7x-3}{2}

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons transformer l'expression afin de calculer plus facilement la dérivée de la fonction ff.
    f(x)=5x2+7x−32f\left(x\right)=\frac{5x^{2} +7x-3}{2} équivaut successivement à :
    f(x)=5x22+7x2+(−3)2f\left(x\right)=\frac{5x^{2}}{2}+\frac{7x}{2}+\frac{\left(-3\right)}{2}
    On obtient alors : f(x)=52x2+72x−32f\left(x\right)=\frac{5}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}
    Nous allons maintenant calculer la dérivée de ff.
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • f′(x)=52×2x−72f'\left(x\right)=\frac{5}{2}\times2x-\frac{7}{2}
    Ainsi :
    f′(x)=5x−72f'\left(x\right)=5x-\frac{7}{2}
    Question 6

    f(x)=−6x3−9x−5x2−2f\left(x\right)=-6x^{3}-9x-5x^{2}-2

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=−6×3x2−9−5×2xf'\left(x\right)=-6\times3x^{2}-9-5\times2x
    Ainsi :
    f′(x)=−18x2−10x−9f'\left(x\right)=-18x^{2}-10x-9

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