Suites arithmético-géométriques - Exercice 3

$$v_{n} =u_{n} +10$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +10$$
On connait l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =0,75u_{n} -2,5+10$$
$$v_{n+1} =0,75u_{n} +7,5$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,75}u_{n} +7,5$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,75}$$ .
$$v_{n+1} =0,75\left(u_{n} +\frac{7,5}{0,75} \right)$$
$$v_{n+1} =0,75\left({\color{red} u_{n} +10}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} +10}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,75$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} +10=4+10$$ donc $$v_{0} =14$$

Ainsi : $$v_{n} =14\times 0,75^{n}$$

On sait que $$v_{n} =u_{n} +10$$ donc $$v_{n} -10=u_{n}$$
Il vient alors que $$u_{n} =14\times 0,75^{n} -10$$

Comme $$0< 0,75< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 14\times \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 14\times \left(0,75\right)^{n} -10=-10$$
Ainsi :