Déterminer les extrema d'une fonction - Exercice 1
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On considère la fonction f définie sur [0;3] par f(x)=3x2−12x+1 .
Question 1
Donner l'expression de sa fonction dérivée notée f′ .
Correction
La dérivée d'un nombre est 0.
La dérivée d'un nombre×x est nombre.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée d'un nombre×x2 est nombre×2x.
Soit f(x)=3x2−12x+1, il vient alors que : f′(x)=3×2x−12 Ainsi :
f′(x)=6x−12
Question 2
Etudier le signe de f′(x) sur l'intervalle [0;3] .
Correction
Etude du signe de f′
6x−12=0⇔6x=12⇔x=612⇔x=2 Soit x↦6x−12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x−12 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=2 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) Le tableau de signe de f′ est alors donnée ci-dessous :
Question 3
Dresser alors le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;3] .
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
Avec :
f(0)=3×02−12×0+1 d'où f(0)=1
f(2)=3×22−12×2+1 d'où f(2)=−11
f(3)=3×32−12×3+1 d'où f(3)=−8
Question 4
La fonction f admet t-elle des extrema ? Si oui, les préciser.
Correction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I .
Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a .
D'après le tableau ci-dessous :
f′ s'annule en changeant de signe en 2 donc f admet un extremum local. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum
De plus :
Le maximum de f sur [0;3] est atteint en x=0 et a pour valeur 1 .
Le minimum de f sur [0;3] est atteint en x=2 et a pour valeur −11 .
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